Tích phân đường

Loại I

• Bài toán: Tính khối lượng của dây không đồng chất , biết mật độ vật chất tại điểm là Kết quả của bài toán cho ta tích phân
• Trong đó được gọi là vi phân cung
• Tính chất:
  • Tuyến tính
  • Phân hoạch
  • Định lí giá trị trung bình
  • Không phụ thuộc vào đường đi
• Cách tính: đưa về tích phân xác định

Tích phân đường loại I

Với là đường cong cho bởi phương trình và ta có Với là đường cong cho bởi phương trình tham số ; và ta có

• Ứng dụng

Độ dài đường cong

Loại II

• Xét lực là một lực biến đổi liên tục trên . Công do lực thực hiện để di chuyển chất điểm dọc theo đường cong là tích phân

• Tính chất
  • Tuyến tính
  • Phân hoạch
  • Định lí giá trị trung bình
  • Phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối

• Cách tính

Tích phân đường loại II

Nếu cung cho bởi đường Nếu cung cho bởi phương trình tham số ,

Công thức Green

• Cho miền liên thông, bị chặn có biên là gồm một/nhiều đường con kín trơn từng khúc, rời nhau đôi một, và , các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong , ta có

Công thức Green

Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường đi

4 mệnh đề tương đương

với mọi đường cong kín, trơn từng khúc trong chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A, điểm cuối B mà không phụ thuộc vào đường đi giữa hai điểm đó là vi phân toàn phần của một hàm nào đó trong miền

Một số hệ quả:

• Khi đó hoặc

và