Ứng dụng của vi phân trong hình học không gian

Hàm vector

Định nghĩa

Xét không gian 3 chiều có cơ sở chính tắc Một hàm vector là một ánh xạ: với là các hàm một biến t trên

• Các định nghĩa về giới hạn, đạo hàm, tích phân tương tự như hàm một biến, trong đó:

Giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm vector

Xét là một số hoặc . Ta có:

Mặt cong trong không gian

• Xét mặt cong cho bởi phương trình tổng quát . Tại điểm là điểm chính quy, ta có vector pháp tuyến của mặt cong tại M là
• Tiếp diện của mặt cong tại M là mặt phẳng đi qua M, lấy là vector pháp tuyến
• Pháp tuyến của mặt cong tại M là đường thẳng đi qua M, lấy là vector chỉ phương

Đường cong trong không gian

• Xét đường cho bởi phương trình tham số:
  • Xét điểm ứng với là điểm chính quy, khi đó, xét vector chỉ phương của đường cong tại M
• Xét đường cong là giao của hai mặt cong và và điểm M(x_0;y_0;z_0) Gọi là vector pháp tuyến của mặt cong tại và là vector pháp tuyến của mặt cong tại . Ta có
• Tiếp tuyến của đường cong tại M là đường thẳng qua M, lấy làm vector chỉ phương
• Pháp diện của đường cong tại M là mặt phẳng đi qua M, lấy làm vector pháp tuyến
• Độ cong của đường cong cho bởi phương trình tham số tại điểm ứng với :