Ứng dụng của vi phân trong hình học phẳng

Tiếp tuyến, pháp tuyến của đường cong phẳng

• Cho một đường cong và một điểm
• Đường thẳng chỉ cắt đường cong tại được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại
• Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại được gọi là pháp tuyến của đường cong tại
• Nếu gọi vector chỉ phương của đường tiếp tuyến là thì là vector pháp tuyến của đường pháp tuyến. Vector này được gọi là vector tiếp tuyến của tại
• Nếu gọi vector chỉ phương của đường pháp tuyến là thì là vector pháp tuyến của đường tiếp tuyến. Vector này được gọi là vector pháp tuyến của tại

Chú ý

Công thức tìm vector tiếp tuyến, vector pháp tuyến

Nếu đường cong được xác định từ hàm số . M được gọi là điểm chính quy nếu . Khi đó ta có: Nếu đường cong được xác định dưới dạng tham số . M ứng với tham số . M được gọi là điểm chính quy nếu . Khi đó ta có:

Độ cong của đường cong tại một điểm

Với đường cong cho dưới dạng tham số

Cho và điểm chính quy ứng với . Độ cong:

Với đường cong cho dưới dạng hàm số

Cho và điểm chính quy ứng với . Độ cong:

Với đường cong trong tọa độ cực

Cho và điểm ứng với . Độ cong:

Hình bao của họ đường cong

• Cho họ đường cong . Một đường cong được gọi là hình bao của họ đường cong trên nếu:
  • Mọi đường cong của tiếp xúc với
  • Với mọi điểm thuộc , ta luôn tìm được một đường thuộc tiếp xúc với tại điểm đó

Phương pháp tìm hình bao của họ đường cong

Cho họ đường cong . Để tìm hình bao:

• Tìm các điểm kì dị của họ đường cong
• Giải hệ

• Việc giải hệ sẽ đưa đến một phương trình dạng . Loại quỹ tích các điểm kì dị khỏi phương trình này, ta được hình bao của họ đường cong là