Định lý Ostrogradsky-Gauss (OG)

Vector điện cảm

• là đại lượng vector đặc trưng cho tính chất của điện trường không phụ thuộc vào môi trường

Vector điện cảm

• Tính chất: liên tục khi qua mặt phân cách giữa các môi trường có hằng số điện môi khác nhau.

Điện thông

• là đại lượng vô hướng biểu thị số đường sức điện gửi qua một mặt
• Để xác định điện thông gửi qua mặt , ta chia thành các mảnh vô cùng nhỏ, trên các mảnh này từ trường là từ trường đều.
• Ta có vi phân điện thông với là góc giữa và vector pháp tuyến của
• Khi đó, điện thông gửi qua mặt S:

Định lý Ostrogradsky-Gauss

Điện thông gửi qua một mặt kín bằng tổng đại số của các điện tích nằm trong mặt kín đó

Ứng dụng định lí OG để tìm cường độ điện trường

Mặt cầu tích điện đều

• Xét mặt cầu tâm O bán kính rỗng, tích điện đều và có điện tích .
• Điểm M cách tâm khoảng cách
• Xét trường hợp .
• Dựng mặt Gauss là mặt cầu tâm O đi qua M. Tại mọi điểm trên mặt Gauss, D là hằng số, và cùng phương, cùng chiều nên ta có
• Theo định lí OG, ta có Vậy
• Xét trường hợp , do không có điện tích trong mặt Gauss,

Điện trường do mặt cầu tích điện đều gây ra tại điểm M

Mặt phẳng vô hạn tích điện đều

• Xét mặt phẳng vô hạn tích điện đều, mật độ điện mặt là
• Điểm M cách mặt phẳng khoảng cách
• Lấy M’ đối xứng với M qua mặt phẳng H.
• Dựng mặt Gauss là mặt trụ có hai đáy và , đường sinh vuông góc với mặt phẳng
• Xét điện thông gửi qua mặt trụ Gauss (, là hai đáy của trụ, là mặt xung quanh của trụ)
• Nhận xét: Trên , vector pháp tuyến luôn vuông góc với nên
• Trên và , và luôn cùng phương, cùng chiều
• Theo định lí OG ta có
• Vậy
• Kết quả này phù hợp với công thức thu được từ Nguyên lí chồng chất điện trường

Sợi dây dài vô hạn tích điện đều

• Xét sợi dây dài vô hạn, tích điện đều với mật độ điện mặt
• Điểm M cách sợi dây một khoảng
• Dựng mặt Gauss là mặt trụ, có trục là sợi dây, đường sinh song song với sợi dây, hai đáy vuông góc sợi dây, bán kính , độ dài đường sinh là
• Điện thông gửi qua mặt Gauss:
• Trong đó:
  • và là hai đáy của trụ. Trên hai mặt này, luôn vuông góc với nên
  • là mặt bên của trụ, trên mặt này, và luôn cùng phương, cùng chiều
• Từ đó ta có:
• Theo định lí OG ta có Vậy từ đó

Điện trường do sợi dây dài vô hạn tích điện đều gây ra

• Điểm đặt: M
• Phương: vuông góc với sợi dây
• Chiều: ra khỏi sợi dây nếu , đi vào sợi dây nếu
• Độ lớn