Tích phân mặt loại I
- Xét bài toán: tính khối lượng của mặt cong, trơn , biết mật độ khối lượng của mặt cong tại điểm là . Kết quả của bài toán cho ta tích phân mặt loại I:
- Với là vi phân mặt, nếu mặt cho bởi phương trình thì
- Cách tính: đưa về tích phân kép
- Xác định phương trình mặt :
- Xác định hình chiếu của mặt lên là
- và các đạo hàm riêng liên tục trên , ta có
Tích phân mặt loại II
Tính định hướng của mặt gắn với vector pháp tuyến
Định nghĩa, tính chất
- Cho mặt cong nằm trong chất lỏng đang chảy với mặt độ và vận tốc . Tính lượng chất lỏng chảy qua mặt cong trong một đơn vị thời gian
- Tích phân mặt loại II của theo hướng của là
Cách tính: tính trực tiếp
- Ví dụ cần tính .
- Viết dưới dạng
- Gọi là hình chiếu của trên
- Ta có
Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại II và loại I
Công thức Ostrogradsky-Gauss (O-G)
- Xét mặt kín , miền bị bao bởi là , ta có
Công thức Stokes
- Xét đường cong kín trong không gian, là biên của mặt , ta có
- Chiều của và hướng của liên hệ với nhau theo quy tắc bàn tay phải