Tích phân kép (Tích phân bội hai)

Bài toán

Tính thể tích khối trụ có đáy là miền , mặt trên là mặt cong có phương trình , các đường sinh song song với Oz. Kết quả của bài toán là một tích phân, được biểu diễn như sau:

Tính chất của tích phân kép

• Các công thức dưới đây viết gọn thành , thành . Các thành phần khác đều là các hằng số
• Tính tuyến tính:
• Tính phân hoạch: Chia thành n phần rời nhau, ta có:
• Định lí giá trị trung bình

Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes

Nếu có dạng hình chữ nhật ta có:

Nếu bị chặn bởi và

Nếu bị chặn bởi và

Công thức đổi biến

Xét tích phân kép . Thực hiện đổi biến với với các điều kiện sau:

• liên tục, có đạo hàm riêng trong miền
• Việc đổi biến xác định một song ánh từ lên
• Định thức Jacobi trên hoặc chỉ bằng 0 tại một số điểm hữu hạn Khi đó ta có:

Công thức đổi biến của tích phân kép

Công thức tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Ứng dụng

• Tính thể tích vật thể tạo bởi mặt cong và () xác định trên miền D, các đường sinh song song Oz:
• Tính diện tích miền phẳng D:
• Tính diện tích mặt cong có hình chiếu lên là miền :